ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧ - ୩
ପ୍ର: ପ୍ରକ୍ରିୟା ଆରମ୍ଭ ହେବା ପୂର୍ବରୁ ଖୋଇସ୍ନାମ ଜାଣିପାରିଥିଲେ ଯେ ଶେଷରେ କେଉଁ ଲକରଗୁଡ଼ିକ ଖୋଲା ରହିବ । ସେ କିପରି ଜାଣିପାରିଲେ ?
ସମାଧାନ:
ଖୋଇସନାମ (Khoisnam) ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ ଯେ, ଗୋଟିଏ ଲକର୍ କେତେଥର ଖୋଲା କିମ୍ବା ବନ୍ଦ (toggled) ହେଉଛି, ତାହା ସେହି ଲକର୍ ନମ୍ବରର ଗୁଣନୀୟକ (factors) ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମାନ । ଯେଉଁ ଲକର୍ ଅଯୁଗ୍ମ (odd) ସଂଖ୍ୟକ ଥର ଟଗଲ୍ ହୋଇଥିବ, ତାହା ଶେଷରେ ଖୋଲା ରହିବ; ଏବଂ ଯେଉଁ ଲକର୍ ଯୁଗ୍ମ (even) ସଂଖ୍ୟକ ଥର ଟଗଲ୍ ହୋଇଥିବ, ତାହା ବନ୍ଦ ରହିବ । କେବଳ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ (perfect squares) ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ହିଁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ, ତେଣୁ କେବଳ ସେହି ଲକର୍ ଗୁଡ଼ିକ ଖୋଲା ରହିବ ଯାହାର ନମ୍ବର ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ (ଯଥା: 1, 4, 9, 16, …) ।
ପ୍ର: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ କି ?
ସମାଧାନ: ନା, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ (Even number of factors) ନଥାଏ । କେବଳ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Perfect Square numbers) ମାନଙ୍କର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ (Odd number of factors) ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ ।କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ ଯାହାକୁ ନିଜେ ଗୁଣନ କଲେ, ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ।
ପ୍ର. ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ ଆଧାର କରି ତୁମେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥିବା ଅଧିକ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ପାଇବ କି ?
ସମାଧାନ:
ପ୍ର. ଖୋଲାଥିବା ଲକର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ: ଯେଉଁ ଲକରଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା Perfect Square (ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ), ସେଗୁଡ଼ିକ ହିଁ ଶେଷରେ ଖୋଲା ରହିବ। 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସେହି 10 ଟି ଲକର ହେଉଛି:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
ପ୍ର:କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଏହି ପାଞ୍ଚୋଟି ଲକର୍ ?
ସମାଧାନ:
ଯେଉଁ ଲକରଗୁଡ଼ିକ କେବଳ ଦୁଇଥର ଖୋଲା ବା ବନ୍ଦ ହୋଇଛି ତାହା ହେଉଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକର ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 1 ଓ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ନିଜେ । ତେଣୁ କୋଡ଼ ହେଉଛି 2-3-5-7-11 |
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୪
ପ୍ର. ପ୍ରଥମ 30 ଟି ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ର: ତୁମେ ଏଠାରେ କେଉଁ ପ୍ରକାରର ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଅଛ ? ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ସହିତ ଆଲୋଚନା କର ଓ ଅନୁଧାରଣ (conjecture) କର।
ସମାଧାନ:
ସମସ୍ତ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା 0, 1, 4, 5, 6, କିମ୍ବା 9 ସହିତ ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ, ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି 2, 3, 7, କିମ୍ବା 8 ସହିତ ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ।
ପ୍ର: ଏକକ ସ୍ଥାନର 0, 1, 4, 5, 6 କିମ୍ବା 9 ଥିଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ କି ?
ସମାଧାନ:
ଆମେ କେବଳ ୟୁନିଟ୍ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ଦେଖି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର କି ନାହିଁ ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବୁ ନାହିଁ। କିନ୍ତୁ ୟୁନିଟ୍ ଅଙ୍କ ଆମକୁ କହିପାରିବ ଯେ କେତେବେଳେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ନୁହେଁ। ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 2, 3, 7, କିମ୍ବା 8 ରେ ଶେଷ ହୁଏ, ତେବେ ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ଏହା ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ନୁହେଁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, 26 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ କିନ୍ତୁ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ନୁହେଁ।
ପ୍ର: 5 ଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କକୁ ଦେଖି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ ଯେ ସେମାନେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
୪୭୮, ୧୦୭୨, ୭୫୪୩, ୯୦୪୭, ଏବଂ ୧୨୫୭।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା 5
ପ୍ର. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ରହିବ ?
(i) 38 2 (ii) 34 2 (iii) 46 2 (iv) 56 2 (v) 74 2 (vi) 82 2
ସମାଧାନ:
(i) 38 2
38 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 8
8 × 8 = 64 (4 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 38 2 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ।
(ii) 34 2
34 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 4
4 × 4 = 16 (6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 34 2 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(iii) 46 2
46 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 6
6 × 6 = 36 (6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 46 2 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(iv) 56 2
56 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 6
6 × 6 = 36 (6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 56 2 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(v) 74 2
74 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 4
4 × 4 = 16 (6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 74 2 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(vi) 82 2
82 → ଏକକ ସଂଖ୍ୟା → 2
2 × 2 = 4 (4 ରେ ଶେଷ ହୁଏ)
ତେଣୁ, 82 2 4 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
ତେଣୁ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 କିମ୍ବା 6 ଅଛି , ତାହାର ବର୍ଗରେ ଶେଷ ଅଙ୍କ 6 ଅଟେ। ତେଣୁ
, 34 2 , 46 2,56 2,74 2 ହେଉଛି ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ଅଙ୍କ ଅଛି।
ପ୍ର. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟା ଓ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ ଥାଏ, ତେବେ ତା’ର ବର୍ଗର ଶେଷରେ କେତୋଟି ଶୂନ ରହିବ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦ୍ୱିଗୁଣ। ତେଣୁ, ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ୍ୟ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ବର୍ଗରେ 6ଟି ଶୂନ୍ୟ ରହିବ।
ଉଦାହରଣ:
10^2 = 100 (୧ଟି ଶୂନ → ୨ଟି ଶୂନ)
100^2 = 10,000 (୨ଟି ଶୂନ → ୪ଟି ଶୂନ)
1000^2 = 1,000,000 (୩ଟି ଶୂନ → ୬ଟି ଶୂନ)
ପ୍ର: ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ ? ଏପରି ସବୁବେଳେ ହୋଇଥାଏ କି ? ଆମେ କହିପାରିବା କି ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ରହିବ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦ୍ୱିଗୁଣ। ହଁ, ଏହା ସର୍ବଦା ଘଟିବ। ହଁ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ବର୍ଗର ଶେଷରେ କେବଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଶୂନ୍ୟ ରହିପାରିବ।
ପ୍ର: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତା’ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂପର୍କ ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ କହିପାରିବ ?
ସମାଧାନ:
ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ, ଏବଂ ଏକ ବିଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ସର୍ବଦା ବିଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା 7
ପ୍ର: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ, ଆସ ଖୋଜିବା । ତୁମେ ଏହାର କିଛି ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି ?
ସମାଧାନ: n 2 ଏବଂ (n + 1) 2
ମଧ୍ୟରେ ଠିକ୍ '2n' ସଂଖ୍ୟା ଅଛି । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: 3 2 (n) ଏବଂ 4 2 (n + 1) ମଧ୍ୟରେ 2 × 3 = 6 (2n) ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।
ପ୍ର.1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ? 101 ରୁ 200 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ଅଛି ? ତୁମେ ପୂର୍ବରୁ ପୂରଣ କରିଥିବା ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ସାରଣୀ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ 100ର ସଂଭାଗରେ କେତୋଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଗଣି ଲେଖ । 1000ରୁ କମ୍ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଟି କିଏ ?
ସମାଧାନ:
୧୦୦୦ ରୁ କମ ସବୁଠାରୁ ବଡ ବର୍ଗ ହେଉଛି ୩୧ ୨ = ୯୬୧।
ପ୍ର: ତୁମେ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସଂପର୍କ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି ? ଏହି ସଂରଚନାକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଅ ଓ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଅ ।
ସମାଧାନ:
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା 9
ପ୍ର. ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି 1156 ଏବଂ 2800 ପୂର୍ଣବର୍ଗ କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) 1156 = (2 × 2) × (17 × 17)
= 2 2 × 17 2
= (2 × 17) 2
= (34) 2
∴ √1156 = 34।
(ii) 2800 = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × 7
= 2 × 2 2 × 5 2 × 7
କାରଣ ଏ ଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ
∴ 2800 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୦ - ୧୧
ନିଜେ କରି ଦେଖ
1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ?
(i) 2032
(ii) 2048
(iii) 1027
(iv) 1089
ସମାଧାନ:
ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଏହାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 0, 1, 4, 5, 6, କିମ୍ବା 9 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(i) 2032 ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 2 ରେ ଶେଷ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ।
(ii) 2048 ୟୁନିଟ୍ ସ୍ଥାନରେ 8 ରେ ଶେଷ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ।
(iii) ୧୦୨୭ ୟୁନିଟ୍ ସ୍ଥାନରେ ୭ ରେ ଶେଷ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ।
(iv) ୧୦୮୯ ୟୁନିଟ୍ ସ୍ଥାନରେ ୯ ରେ ଶେଷ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର।
2. 64 2 , 108 2 , 292 2 , 36 2 ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟିର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ?
ସମାଧାନ:
(i) 64 2
64 ୟୁନିଟର ଅଙ୍କ ହେଉଛି 4
4 × 4 = 16 (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)
(ii) 108 2
ୟୁନିଟର ଅଙ୍କ 108 ହେଉଛି 8
8 × 8 = 64 (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4)
(iii) 292 2
ୟୁନିଟର ଅଙ୍କ 292 ହେଉଛି 2
2 × 2 = 4 (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4)
(iv) 36 2
ୟୁନିଟର 36 ଅଙ୍କ ହେଉଛି 6
6 × 6 = 36 (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)
ତେଣୁ, 108 2 ଏବଂ 292 2 ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ଅଟେ।
3. 125 2 = 15625 ତେବେ 126 2 ର ମାନ କେତେ ହେବ ?
(i) 15625 + 126
(ii) 15625 + 26 2
(iii) 15625 + 253
(iv) 15625 + 251
(v) 15625 + 25 2
ସମାଧାନ:
125 2 = 15625
ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି 15625 ହେଉଛି ପ୍ରଥମ 125 ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।
୧୨୬ ୨ = ୧୫୬୨୫ + ୧୨୭ତମ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା
୧୨୭ତମ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା = (୨ × ୧୨୭) – ୧ = ୨୫୨ – ୧ = ୨୫୧।
∴ ୧୨୬ ୨ = ୧୫୬୨୫ + ୨୫୧
ତେଣୁ, (iv) ୧୫୬୨୫ + ୨୫୧ ହେଉଛି ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର।
୪. 441 ବର୍ଗମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ୱ × ପାର୍ଶ୍ୱ = ୪୪୧ ମିଟର ୨ ।
(ପାର୍ଶ୍ୱ) ୨ = ୪୪୧
ପାର୍ଶ୍ଵ = √୪୪୧
ପାର୍ଶ୍ଵ = ± ୨୧ ମିଟର
ଯେହେତୁ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପାର୍ଶ୍ୱ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେଣୁ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପାର୍ଶ୍ୱର ଲମ୍ବ ୨୧ ମିଟର।
5. 4, 9 ଓ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?
ସମାଧାନ:
4, 9, ଏବଂ 10 ର LCM ହେଉଛି 180।
ତେଣୁ, 4, 9, ଏବଂ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 180।
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
180 = 2 2 × 3 2 × 5
ଏଠାରେ, 5 ର କୌଣସି ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ।
ତେଣୁ, 180 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ। ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଏହାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରୁ।
ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 180 × 5 = 900।
୬. କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବାରା 9408 କୁ ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଗୁଣଫଳର ବର୍ଗମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
୯୪୦୮ = ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୩ × ୭ × ୭
୯୪୦୮ = ୨ ୨ × ୨ ୨ × ୨ ୨ × ୭ ୨ × ୩
ଏଠାରେ, ୩ ର କୌଣସି ଯୋଡା ନାହିଁ।
ତେଣୁ, ୯୪୦୮ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ। ଏହାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଏହାକୁ ୩ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରୁ।
ତେଣୁ, ୯୪୦୮ × ୩ = ୨୮୨୨୪, ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ।
√୨୮୨୨୪ = √ ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୨ × ୩ × ୩ × ୭ × ୭
√୨୮୨୨୪ = √୨ ୨ × ୨ ୨ × ୨ ୨ × ୩ ୨ × ୭ ୨
∴ √୨୮୨୨୪ = ୨ × ୨ × ୨ × ୩ × ୭ = ୮ × ୨୧ = ୧୬୮।
7. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିବ ?
(i) 16 ଏବଂ 17 (ii) 99 ଏବଂ 100
ସମାଧାନ: n 2 ଏବଂ (n + 1) 2
ମଧ୍ୟରେ 2n ସଂଖ୍ୟା ଅଛି । (i) 16 2 ଏବଂ 17 2 ଏଠାରେ, n = 16 ଏବଂ (n + 1) = 17 ତେଣୁ, 16 2 ଏବଂ 17 2 ମଧ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟା = 2n = 2 × 16 = 32।
(ii) 99 2 ଏବଂ 100 2
ଏଠାରେ, n = 99 ଏବଂ (n + 1) = 100 ତେଣୁ, ବର୍ଗ 99 2 ଏବଂ 100 2
ମଧ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟା = 2n = 2 × 99 = 198।
8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂରଚନାରେ ଖାଲିଥିବା ସ୍ଥାନରେ ଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁ ପୂରଣ କର ।
1 2 × 2 2 × 2 2 = 3 2
2 2 × 3 2 × 6 2 = 7 2
3 2 × 4 2 × 12 2 = 13 2
4 2 × 5 2 × 20 2 = (___) 2
9 2 × 10 2 × (___) 2 = (___) 2
ସମାଧାନ:
1 2 × 2 × 2 2 = 3 2
2 2 × 3 2 × 6 2 = 7 2 3
2 × 4 2 × 12 2 = 13 2
4 2 × 5 2 × 20 2 = ( 21 ) 2
9 2 × 10 2 × ( 90 ) 2 = ( 91 ) 2
୯. ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ବର୍ଗ ଚିତ୍ର ଅଛି ? ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଧାଡିରେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 9.
ଏକ ସ୍ତମ୍ଭରେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 9.
ଚିତ୍ରରେ ମୋଟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 9 × 9 = 81.
ଏକ ବର୍ଗରେ କ୍ଷୁଦ୍ର ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 5 × 5 = 25.
ଚିତ୍ରରେ ମୋଟ କ୍ଷୁଦ୍ର ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 25 × 81 = 2025।
2025 ର ମୁଖ୍ୟ ଗୁଣନ:
2025 = (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)
2025 = 3 2 × 3 2 × 5 2
2025 = 3 4 × 5 2 ।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୨
ପ୍ର. ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ର. ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ କେଉଁ ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ ?
ସମାଧାନ:
(i) ଶେଷ ଅଙ୍କ 1 ଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଘନକ 1 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
(ii) 2 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ଥାଏ, ଏବଂ 8 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଶେଷ ଅଙ୍କ 2 ଥାଏ।
(iii) 3 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଶେଷ ଅଙ୍କ 7 ଥାଏ, ଏବଂ 7 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ଶେଷ ଅଙ୍କ 3 ଥାଏ।
(iv) ଘନକଣ କଲେ, 4, 5, 6, 9, କିମ୍ବା 0 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ୟୁନିଟର ଅଙ୍କ ରଖନ୍ତି।
ପ୍ର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଯେ କୌଣସି ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ (ଏକକ ଅଙ୍କ) 0, 1, 4, 5, 6, 9 ହିଁ ହୋଇପାରିବ ।
ସମାଧାନ:
ଘନଫଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ ୦ ରୁ ୯ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କ ହୋଇପାରେ।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୩
ପ୍ର. ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ପରି, ତୁମେ 1 ଅଙ୍କ, 2 ଅଙ୍କ ଏବଂ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ଘନ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କହିପାରିବ କି ?
ସମାଧାନ:
1-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନଫଳ: 1 3 = 8, 2 3 = 8
ଗଣନା : 2 ଘନଫଳ (1, 8)
2-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନଫଳ: 3 3 = 27, 4 3 = 64
ଗଣନା: 2 ଘନଫଳ (27, 64)
୩-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନଫଳ: ୫ ୩ = ୧୨୫, ୬ ୩ = ୨୧୬, ୭ ୩ = ୩୪୩, ୮ ୩ = ୫୧୨, ୯ ୩ = ୭୨୯
ଗଣନା: ୫ ଘନଫଳ (୧୨୫, ୨୧୬, ୩୪୩, ୫୧୨, ୭୨୯)
ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବଡ଼ ହେବା ସହିତ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ୟୁବଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଏ।
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ପରି, କ୍ୟୁବଗୁଡ଼ିକ ଶୀଘ୍ର ବଢ଼ନ୍ତି, ତେଣୁ କମ୍ କ୍ୟୁବ ଛୋଟ ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ଫିଟ୍ ହୁଅନ୍ତି।
ପ୍ର: ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ ଦୁଇଟି ଶୂନ (୦୦) ହୋଇପାରିବ କି ? ବୁଝାଅ ।
ନା, ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଠିକ୍ ଦୁଇଟି ଶୂନ (୦୦) ରହିପାରିବ ନାହିଁ।
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ୧ଟି ଶୂନ ରହେ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା 10 ଦ୍ୱାରା ଭାଗଯୋଗ୍ୟ ଅଟେ।
ଧରନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟା = 10n
ତେବେ ତାହାର ଘନ ହେବ:
(10n)³ = 1000n³
ଏଥିରେ ଶେଷରେ ତିନୋଟି ଶୂନ (000) ରହିଛି।
ଉଦାହରଣ:
10³ = 1000 (ତିନୋଟି ଶୂନ)
20³ = 8000 (ତିନୋଟି ଶୂନ)
100³ = 1000000 (ଛଅଟି ଶୂନ)
ଏଥିରୁ ଦେଖାଯାଉଛି ଯେ ଘନସଂଖ୍ୟାରେ ଶୂନଗୁଡ଼ିକ ସଦା 3, 6, 9 … ଭଳି ତିନିର ଗୁଣିତକ ରୂପେ ଥାଏ।
ପ୍ର. 1729 ର ଦୁଇଟି ପରବର୍ତ୍ତୀ ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ 4104 ଓ 13832 | ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ କେଉଁ ଦୁଇ ଉପାୟରେ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ, ଚେଷ୍ଟା କର ।
ସମାଧାନ:
9³ + 15³ = 729 + 3375 = 4104
13832 ପାଇଁ: 2³ + 24³ = 8 + 13824 = 13832
18³ + 20³ = 5832 + 8000 = 13832
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୪
ପ୍ର: ଗଣନା ନକରି ଆପଣ କହିପାରିବେ କି ଏହି ଯୋଗଫଳ କ’ଣ?
୯୧ + ୯୩ + ୯୫ + ୯୭ + ୯୯ + ୧୦୧ + ୧୦୩ + ୧୦୫ + ୧୦୭ + ୧୦୯।
ସମାଧାନ:
ଏହି ଶୃଙ୍ଖଳାରେ ୧୦ଟି କ୍ରମାଗତ ବିଯୋମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି, ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ୧୦ ୩ = ୧୦୦୦।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୫
ପ୍ର. ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) ∛64 = (ii) ∛512 = (iii) ∛729 =
ସମାଧାନ:
(i) ∛64
64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2 3 × 2 3
= (2 × 2) 3 = 4 3
∴ ∛64 = 4.
(ii) ∛512
512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2 3 × 2 3 × 2 3
= (2 × 2 × 2) 3 = 8 3
∴ ∛512 = 8.
729 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)
= 3³ × 3³
= (3 × 3)³
= 9³
∴ ∛729 = 9।
ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ପୃଷ୍ଠା ୧୬ - ୧୭
ନିଜେ କରି ଦେଖ ।
1. 27000 ଓ 10678ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
(i) ∛27000
27000 ର ପ୍ରାଇମ ଫ୍ୟାକ୍ଟରାଇଜେସନ = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
27000 = 2 3 × 3 3 × 5 3
27000 = (2 × 3 × 5) 3
27000 = 30 3
∴ ∛27000 = 30।
10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
10648 = 2³ × 11³
= (2 × 11)³
= 22³
∴ ∛10648 = 22।
2. କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା 1323 କୁ ଗୁଣନକଲେ, ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
ସମାଧାନ:
1323 ର ପ୍ରଧାନ ଗୁଣନୀୟକରଣ = 3 × 3 × 3 × 7 × 7
ଏଠାରେ, 7 ର କୌଣସି ତ୍ରିଗୁଣ ନାହିଁ।
ତେଣୁ, 1323 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ନୁହେଁ। ଏହାକୁ ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଏହାକୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା।
1323 × 7 = 3 × 3 × 7 × 7 = 9261 ଯାହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ।
ତେଣୁ, 1323 କୁ ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡିବ ତାହା ହେଉଛି 7।
(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(ii) ଏପରି କୌଣସି ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହେବ ।
(iii) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ ।
(iv) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାତ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ ।
(v) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ ।
ସମାଧାନ:
କାରଣ ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସଦା ଅଯୁଗ୍ମ ହୁଏ।
ଉଦାହରଣ: 3³ = 27, 5³ = 125, 7³ = 343 (ସବୁ ଅଯୁଗ୍ମ)
(ii) ଭୁଲ୍ (×)
କାରଣ କିଛି ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହୁଏ।
ଉଦାହରଣ: 2³ = 8, 12³ = 1728 (ଶେଷ ଅଙ୍କ 8)
(iii) ଭୁଲ୍ (×)
କାରଣ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାଧାରଣତଃ 4 ରୁ 6 ଅଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ହୁଏ, 3 ଅଙ୍କ ହୋଇପାରେ ନାହିଁ।
ଉଦାହରଣ: 10³ = 1000 (4 ଅଙ୍କ), 99³ = 970299 (6 ଅଙ୍କ)
(iv) ଭୁଲ୍ (×)
କାରଣ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ 2-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା 99 ର ଘନ = 970299 (6 ଅଙ୍କ)।
ସେହିପରି, 7 କିମ୍ବା ତାଠାରୁ ଅଧିକ ଅଙ୍କ ହୋଇପାରେ ନାହିଁ।
(v) ଭୁଲ୍ (×)
କାରଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନୀୟକ ସଂଖ୍ୟା ସଦା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇନଥାଏ।
ଉଦାହରଣ:
8 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1, 2, 4, 8 → 4ଟି (ଯୁଗ୍ମ)
27 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1, 3, 9, 27 → 4ଟି (ଯୁଗ୍ମ)
୪. ମନେକର 1331 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା । ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ନକରି ତୁମେ ଏହାର ଘନମୂଳ ଅନୁମାନ କରିପାରିବ କି ? ସେହିପରି 4913, 12167 ଓ 32768ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) ∛1331
ହଁ, ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ବିନା ଅନୁମାନ କରିପାରିବ।
10³ = 1000 ଏବଂ 20³ = 8000
ତେଣୁ, 10 < ∛1331 < 20
1331 ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 1 ⇒ ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ ମଧ୍ୟ 1
10 ଓ 20 ମଧ୍ୟରେ 1 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 11
(ii) ∛4913
10³ = 1000 ଏବଂ 20³ = 8000
ତେଣୁ, 10 < ∛4913 < 20
4913 ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 3 ⇒ ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 7
10 ଓ 20 ମଧ୍ୟରେ 7 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 17
20³ = 8000 ଏବଂ 30³ = 27000
ତେଣୁ, 20 < ∛12167 < 30
12167 ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 7 ⇒ ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 3
20 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ 3 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 23
30³ = 27000 ଏବଂ 40³ = 64000
ତେଣୁ, 30 < ∛32768 < 40
32768 ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ⇒ ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 2
30 ଓ 40 ମଧ୍ୟରେ 2 ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 32
∴ ∛32768 = 32
5. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ? କାରଣ ଉପସ୍ଥାପନ କର ।
(a) 67 3 – 66 3
(b) 43 3 – 42 3
(c) 67 2 – 66 2
(d) 43 2 – 42 2
ସମାଧାନ:
ଦିଆଯାଇଛି,
n³ − (n−1)³ = 3n² − 3n + 1
n² − (n−1)² = 2n − 1
(a) 67³ − 66³
= 3 × 67² − 3 × 67 + 1
= 3 × 4489 − 201 + 1
= 13467 − 200
= 13267
(b) 43³ − 42³
= 3 × 43² − 3 × 43 + 1
= 3 × 1849 − 129 + 1
= 5547 − 128
= 5419
(c) 67² − 66²
= 2 × 67 − 1
= 134 − 1
= 133
(d) 43² − 42²
= 2 × 43 − 1
= 86 − 1
= 85
(a) 67³ − 66³ = 13267 ସର୍ବବୃହତ ଅଟେ।
